网格中的旋转变换

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网格中的旋转变换——无刻度直尺作图

在网格背景下的无刻度直尺作图，核心就是寻找合适的格点并连接，从而得到所需要的图形。在网格背景下，每个网格都是正方形，连接格点时，若两格点在同一网格线上，则连接线长度为整数，若两端点不属于上述情况，则可利用勾股定理求其长度。

理论上去掉网格背景后，图形关系仍然成立，因此在网格背景下的作图题，实质仍然是全等三角形、相似三角形、勾股定理等。

题目

如图是由边长为1的小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫格点，A，B，D是格点，E是AD与网格线的交点，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线，画图结果用实线表示.

(1)直接写出图中AE的长为_________；

(2)在图1中画出等腰Rt△EBG，使∠EBG=90°；

(3)在图2中先平移线段AB至DC(A对应D，B对应C)，再在线段DC上画一点H，使得EH=AE+CH.

解析：

0 1

(1)一眼看出结果的背后，是顺畅的识图与推导：

用九年级相似来解决，最为简单，显然在网格中求AD比较容易，AD=√10，而根据网格特征，AE=1/3AD=√10/3；

八年级学生如何解决，我们需要更多其它推导结果，首先是AB与AD的位置关系，如下图：

我们再取两个格点G，H之后，构造出一对全等三角形，△ADG≌△BAH，∠ADG=∠BAH，且∠ADG+∠DAG=90°，所以∠ABH+∠DAG=90°，即∠DAB=90°，熟悉这一对全等三角形的结构，后面网格作图中的许多垂直关系便由此奠定基础了。

此时我们得到∠DAB=90°，然后在Rt△ABE中，作高AF，如下图：

不妨设EF=x，则BE=3+x，在Rt△AEF中，由勾股定理得AE²=x²+1，在Rt△ABE中，仍由勾股定理得AE²=(x+3)²-10，可求得x=1/3，最后再求出AE=√10/3；

0 2

(2)由网格范围限制，G点一定在B点下方，然而点E并不在格点，而是格线上的一个交点，我们需要将它转化到点B所在的垂直网格线上，此时在前面推导出的∠DAB=90°，以及AD=AB派上用场了，只不过我们要从旋转角度来理解它们的关系，即线段AB绕点A顺时针旋转了90°得到线段AD，我们将这种旋转思想进行到底，将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BM，如下图：

易得正方形ADMB，于是，△ABE也可以顺带被旋转到正方形的BM边外，如下图：

显然△EBG就是所求作的等腰直角三角形；

0 3

(3)其实在前一问当中，我们已经将AB平移了，换个字母作图如下：

请注意我们特意保留了前一问中的那一对全等三角形，因为利用它们，AE可转移至CG，所以现在的问题就转换成在DG上求一点H，使EH=GH，从而将两条线段和变成了一条线段GH；

我们再次恢复前一问的等腰直角三角形，它的直角处作角平分线，利用方格的特征，连接一条对角线即可，如下图：

显然BH是△EBG的顶角平分线，于是BH是EG的垂直平分线，它与DG交于点H，则点H到点E、G的距离相等，EH=GH=AE+CH.

解题反思

我们去掉上题中的网格，会发现，呈现出来的都是平时练习中的基本图形，如下图：

这些基本图形涉及到的例题和习题，在学生看来，并无困难，然而转换一下网格背景，立刻不知所措，网格线就是其中的一条或若干条线段，包含辅助线，把这些缺失的线条补充起来，是学生真正感到困难的地方。

由于网格作图只能连接格点，因此连接之前需要想清楚，这条连线的作用是什么，常见的旋转模型均可在网格作图中实现，在平时教学中可以有意识地渗透这种作图思想，这对于学生深入理解全等三角形、平行四边形等特殊图形的图形性质有极大的帮助。

纵观全国各省市的中考题，天津、武汉两地的网格作图题已形成独特的风格，在教材中，网格作图在勾股定理的探索时体现较多，而在全等三角形、平行四边形章节中出现频率不高，这说明我们在作业设计中对这一类题型涉及较少，应该予以补充。

无刻度直尺作图与尺规作图是有关联的，可以说，尺规作图仍然是基础，网格可以部分替代圆规的作用，合理利用好网格线，构造需要的直角三角形、平行四边形，从而作出符合要求的图形。

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